快递小哥两周证明欧拉常数公式

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快递小哥两周证明欧拉常数公式这是什么公式?

6月5日，2023全球数学竞赛公布决赛名单。据了解，今年竞赛超过5万人报名参加，参赛者来自千行百业。来自天津的快递小哥孙金元今年首次参赛，作为数学爱好者，他曾用2周左右时间证明欧拉常数公式。孙金元在2018年毕业后开始从事快递工作，至今已经5年。做数学题是平时工作中最解压的事情，“数学给了我在孤独生活里前行的勇气”，孙金元说。

欧拉常数公式咋推导?

欧拉公式推导如下。

1、欧拉公式是e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。

2、e^ix=cosx+isinx的证明：因为e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+……cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!……sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!……在e^x的展开式中把x换成±ix.(±i)^2=-1,(±i)^3=??i,(±i)^4=1……e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!??x^3/3!+x^4/4!……=(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……)所以e^±ix=cosx±isinx将公式里的x换成-x，得到：e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。将e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到：e^iπ+1=0。

欧拉常数的直观解释

它的定义是调和级数与自然对数的差值的极限。由无穷级数理论可知，调和级数 是发散的。但可以证明， 存在极限。由不等式 可得 故 有下界。而 再一次根据不等式 ，取 ，即可得 所以 单调递减。由单调有界数列极限定理，可知 必有极限，即 存在。该极限被称作欧拉常数，现在通常将该常数记为γ。

欧拉常数怎么算出来的?

这个问题是世界100个难题中，始终没有解决的最后的几个难题之一。在这一点上它和著名的“1+1”相当。但是它没有大的价值，这又和“1+1”不同。它已经有了近似公式：1+1/2+1/3+1/4++1/n~=lnn+C(其中lnn是n的自然对数;C=0.577216……是一个专门用来计算调和数列的前n项和的无理数，叫做欧拉常数)迄今为止，没有人算出过它的通项公式。连它是发散的级数这个性质，也是很晚才得出的。后来发现，再给它加个项，-ln(n)的情况下，发现它是收敛的级数，在n趋向于无穷大的时候，定义它的极限为r(咖玛)，称为欧拉常数。1+1÷2+1÷3+.......+1÷n近似的等于ln(n)+r,在n趋向于无穷大时取等号. 当n很大时，有：1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+...1/n = 0.57721566490153286060651209 + ln(n)//C++里面用log(n)，pascal里面用ln(n)

0.57721566490153286060651209叫做欧拉常数

1+1/2+1/3+…+1/n是没有好的计算公式的，所有计算公式都是计算近似值的，且精确度不高。

自然数的倒数组成的数列,称为调和数列.人们已经研究它几百年了.但是迄今为止没有能得到它的求和公式只是得到它的近似公式(当n很大时):

1+1/2+1/3+......+1/n≈lnn+C(C=0.57722......一个无理数,称作欧拉初始,专为调和级数所用)

得到公式, 用C++实现就容易了 long double Sn( const unsigned int& n ) { const long double euler = 0.57721566490153286060651209;

return ( log( static_cast(n) ) + euler );

}

一个可以计算欧拉常数的递推公式的

euler= 1 + 1/2 + ... + 1/m -ln(m) - 1/(2m) + 1/(12m^2) - 1/(120m^4) + 1/(252m^6)- o(m)

其中

|o(m)| <= 22.5__(m __ PI)^(-7)

因此只要选择一个合适的m使o(m)不影响精度即可

例如，当m=5的时候，精度高于1E-7.

欧拉常数是无理数吗?

欧拉常数是无理数。欧拉常数又称欧拉-马斯克若尼常数，近似值为γ≈0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335。欧拉常数最先由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)在1735年发表的文章 De Progressionibus harmonicus observationes 中定义。